In Bridges 2015 Art Exhibit we can see and read
At first glance we see a net of rhombic triacontahedron in the plane
extended to a circular shape by adding diamonds. It has its beauty. But
the interior has its own beauty, mathematical beauty.
Indeed, several of the tetrahedral included in the figures, or even the
whole work, satisfy that the squares of the areas of the triangular faces
added with + or - signs come to zero.
It is actually another version of the 3d Pythagorean Theorem that I
discovered 50 years ago (different from the trirectangular tetrahedron).
In its anniversary, I want to rediscover it for everyone. It can be
inferred that A ^ 2 + B ^ 2 = C ^ 2 + D ^ 2 and many similar formulas.
First. If
v1 and v2 are two orthogonal vectors in space by the Pythagorean
Theorem is satisfied that:
ǀv1 +
v2ǀ2=ǀ v1 ǀ 2 +
ǀv2ǀ
2
(1)
ǀv1 - v2ǀ 2= ǀv1 ǀ 2 + ǀv2ǀ 2 (2)
Metric relationship between the faces of a tetrahedron with two right dihedral
Being ∆1, ∆2, areas of the faces forming a right dihedral, and ∆3, ∆4 the other is true that:
∆21+∆22=∆23+ ∆24
To prove it, in a tetrahedron with these characteristics put on
their edges vectors v1, v2, v3, v2 - v3, v2 - v1, v1 - v3 (see
Figure 2), assuming that a right dihedron is between the plane
containing the vectors v2 and v3, and the plane containing the
vectors v2 - v3 and v1 - v3. The other is the right dihedron
formed by the plane containing v1 and v2 and the plane
containing v1 and v3. So v2xv3 is orthogonal to (v2-v3)x(v1-v3).
And v1xv2 is orthogonal to v1xv3. To these pairs
of vectors is possible to apply (1)
and (2).
the three vectors on the left are v1, v2, and v3. The three vectors on the right are v2 - v3, v2 - v1, v1 - v3
FIGURE 2: ∆21+∆22=∆23+∆24
Relationship between areas of a tetrahedron with two right
dihedral. Then
ǀ(v2 –v3)x(v1 –
v3)
ǀ 2+ǀv2 x v3ǀ 2=
ǀ
(v2 –v3)x(v1 –
v3)+v2 x v3 ǀ 2 by
(1)
= ǀv2 x v1 – v3 x v1- v2 x v3 + v2 x v3ǀ 2 = ǀv2 x v1 – v3 x v1ǀ 2= ǀv2 x v1ǀ 2 +ǀv3 x v1ǀ 2
by (2). Dividing equality ǀ(v2 –v3)x(v1 – v3) ǀ 2+ ǀv2 x v3ǀ 2= ǀv2 x v1ǀ 2 +ǀv3 x v1ǀ 2 by 4 we get ∆21+∆22=∆23+∆24
¿Por qué llamarlo Teorema de Regueiro?
Después de 50 años desde mi autoría (no desde su publicación, en 1981) parece tiempo suficiente para presumir de creación.
Porque las demostraciones que realicé son muy sencillas y únicas.
Porque soy la única persona que en 50 años tuvo una visión global de la generalización del teorema de Pitágoras.
Vamos a ver este punto. El teorema de Pitágoras en el plano produce una serie de consecuencias: que si el teorema del coseno, el teorema de la altura, el teorema del cateto, que si el árbol de Pitágoras... Para que el teorema de Pitágoras esté completo en el espacio, o en un espacio de n-dimensiones, debe cumplir que sea posible generalizar (de varias formas) el teorema del coseno, el teorema de la altura, y el del cateto, tal como hice en 1989, (ver [2]) y en 2015 generalizo el árbol pitagórico a tres dimensiones, aunque todavía no ha sido publicado, pero que es posible ver aquí.
En
realidad, en este último caso, demuestro que sólo
admitiendo el teorema de Regueiro se puede ver en que
consiste el teorema de Pitágoras generalizado en su forma
más completa, pues es necesario para que los varios
corolarios del teorema de Pitágoras en el plano se puedan
extender a dimensiones superiores. En este caso los
poliedros de Regueiro (que nadie más ha descrito nunca)
que son equivalentes a árboles de Pitágoras en dimensiones
superiores.
Está claro por lo ya visto que llamar Poliedros de Regueiro a los árboles pitagóricos en tres dimensiones es ajustado a la realidad porque soy la persona que ve y describe esa relación. Por ejemplo un poliedro de Regueiro en n dimensiones, ¿que es? Un poliedro que está construido uniendo, por caras comunes, símplices de n dimensiones que verifiquen algunos de los teoremas de Regueiro posibles. En 4 dimensiones, por ejemplo, los teoremas posibles son A2=B2+C2+D2+E2 (con 4 tetraedros ortogonales entre si 2 a 2), A2+B2=C2+D2+E2 (con 3 tetraedros ortogonales entre si 2 a 2, por un lado y los restantes 2 tetraedros también son ortogonales entre si), Todo poliedro de Regueiro de 4 dimensiones está compuesto por símplices de 4 dimensiones que cumplen uno u otro tipo de teoremas citados. Unidos por caras comunes.
¿Por qué no poner bibliografía en inglés? Porque no tienen el punto de vista que mantengo y yo nunca me basé en otra bibliografía. Un libro, excelente por otra parte, que podría tratar este tema es Three Dimensional theorems for schools (2005) de Sir Christopher Zeeman. Pero no trata el teorema de Pitágoras y sus generalizaciones a 3 dimensiones. Ese capítulo que le falta está en mis textos. Estos:
Generalización del Teorema de Pitágoras a n-dimensiones
Geometría métrica en un tetraedro Un ejemplo