Matemáticas para entender. Matemáticas 4º de la ESO.

Manuel Díaz Regueiro

"La mente no es un vaso que es preciso llenar, sino un fuego que es preciso encender" Plutarco

Como en toda época de cambio se producen discusiones sobre la necesidad o no de utilizar las tecnologías novedosas. En la época del ferrocarril se discutía en Inglaterra los graves problemas que podrían sucederle a aquellos atrevidos que osasen viajar en un tren a 30 km/h. Como en aquella época hoy se discute que pasa si un alumno deja de adquirir destrezas repetitivas y de cálculo. Lo que está, también, en discusión es que pasa si un alumno no ve las posibilidades de las destrezas de manipulación de cálculo simbólico,  destrezas de visualización de las matemáticas, destrezas de concretización,... todas ellas destrezas de futuro, usando las TIC.

Porque un alumno, de Bachillerato, por ejemplo, tiene una edad fértil, una edad, que como la edad de adquisición de los idiomas, en la que es posible incendiar su mente, motivarla hacia metas científicas y de compresión mayores, a costa de, evidentemente no llenarla de contenidos innecesarios, prescindibles y vulgares, “agua” en la metáfora. Pasada esa edad, ya no es tan fácil. Microsoft busca sus empleados a esas edades para formarlos convenientemente.

Hoy sabemos que estudiar la lista de los reyes godos –a pesar de su posible utilidad para ejercitar la memoria-, no es ni atrayente, ni motivadora, ni necesaria. Uno escribe en Google “lista reyes godos” y obtiene hasta 800 páginas web en que es posible consultar esa lista.

No es, pues, un conocimiento necesario, como no lo es saberse de memoria el listín telefónico. Si es necesario, en cambio, saber utilizar un buscador web para obtener esas informaciones.

Hablando de matemáticas estaríamos de acuerdo en que un alumno debe saber multiplicar 20*50 o 0,25 * 400 no ya con lápiz y papel sino mentalmente. Debe saber estimar el resultado de una operación con calculadora, comprobando si se equivocó al introducir los números. O, en general, saber estimar cualquier tipo de operación o cálculo que se le pueda presentar en la vida real.

Debe tener intuiciones ciertas, esquemas conceptuales asentados, del concepto de función, derivada, etc... Para ello no es preciso que los pasos por los que llegue a la abstracción sean saltos en el vacío. Hay alumnos capaces de visualizar lo abstracto en su mente sin necesidad de ortopedia de ningún tipo.  Como hay alumnos que tiene una vista de águila y otros son cegatos. Todos entendemos que esa diferencia no es significativa y no debería ser un obstáculo el que un alumno sea cegato para que “progrese adecuadamente” en sus estudios pese a ello. ¿Por qué ha de ser distinto en la capacidad de abstracción?. ¿Es una cualidad humana tan importante que ha de dividir y clasificar a los seres humanos, como parece que pretenden algunos? ¿Servir de selección?

Frecuentemente contraponemos abstracción a comprensión. ¿Es más importante comprender lo que se abstrae, aunque sea menos, que abstraer sin comprender?

Es atractivo suponer que la función (más bien curva) que relaciona abstracción y comprensión tiene un punto óptimo de equilibrio.

Las matemáticas, además de sus enormes aspectos positivos, tienen aspectos (su abstracción, su encadenamiento progresivo, su lógica,...) que dificultan que algunos –bastantes-alumnos lleguen a una total comprensión e identificación con ella. Se producen auténticos bloqueos hacia la asignatura que impiden que ni siquiera se acerquen a ella, no ya que la disfruten, sino que la teman y la rehuyan, impidiendo así que los alumnos lleguen a tener los conocimientos necesarios. Crear entornos donde las matemáticas no provoquen ansiedad es una de las recomendaciones de PISA. Pero aún más necesario sería crear entornos donde las matemáticas provoquen adicción. Donde su necesidad no venga dada por lo del “magister dixit”, o “el cuento del dragón”, sino por el disfrute del conocimiento, de la comprensión, y la ansiedad de saber, que son características humanas. “Queremos saber, sabremos” decía Hilbert en su disputa con Du Bois Reymond. Esto no siempre es posible, pero habría que remediar la apatía y el horror al conocimiento-sobre todo si éste es anticuado- y la ansiedad del no saber, características no tan humanas pero si moneda corriente en las aulas.

Y esto viene a cuento de la cuestión que tenemos planteada, si se favorece o entorpece el aprendizaje de los alumnos con las TIC. En primer lugar es un entorno atractivo, ligado a juegos y entretenimientos, a información ilimitada, natural a las nuevas generaciones.

Es un lugar en el que es posible experimentar. Pongamos un ejemplo: un lugar común de los alumnos es preguntarse para que sirven los polinomios (excepto quizá los de segundo grado, que les surgen en las ecuaciones y que saben resolver si son de grado 2). Pongamos el contexto informático siguiente (Matemáticas cuarto de la ESO): el alumno debe hacer clic en determinados puntos de un plano cartesiano para conseguir dibujar polinomios que pasen por esos puntos (polinomios de interpolación, por tanto), cumpliendo ciertos requisitos sobre sus raíces (3 raíces en el intervalo [-7,2], por ejemplo).

Es evidente que el alumno maneja los polinomios de interpolación sin calcularlos (es un entorno prefabricado del programa) pero los está visualizando de modo que cada polinomio adquiere una propiedad característica -su gráfica, visual y concreta- e incluso evolutiva, es posible observar que diferencias notables tienen sus gráficas al cambiar o aumentar sus puntos de interpolación. Puede investigar, puede preguntarse que pasa si...(y hay preguntas notables que se pueden hacer, seguramente teoremas sin descubrir sobre el comportamiento de estos polinomios cuando variamos algunos de sus parámetros –a modo de ejemplo, qué relación tiene un polinomio con el que se obtiene al añadir  los puntos medios x de sus puntos de interpolación contiguos con el valor de -f(x), etc...).

Como dice Celia Hoyles “Creemos que un desafío central para el diseño de ambientes de estudio matemáticos debe hacer visible lo que es normalmente visible sólo al cognoscenti matemático. De este modo, el nivel de lo que puede ser pensado y hablado en clase se eleva un peldaño o dos y las ideas pueden ser exploradas al estar localizadas dentro del mundo de lo particular, lo concreto y lo manipulable (expresado a través de clics de ratón, partes de programas etc.), conteniendo dentro de ellas las semillas de lo general, lo abstracto, y lo virtual.”

Es así que el alumno está experimentando y probando situaciones e hipótesis sobre las que puede interesarse probar o razonar su necesidad. Pero más que nada, el alumno al que se le presenta esa situación de trabajo no sólo está asentando su concepto de polinomio como función, como estimación (por ser de interpolación), sino que está conociendo un concepto vivo, dinámico, que se deforma y modifica bajo su acción, que le responde, más que un concepto algebraico abstracto del que se sabe sumar, multiplicar y dividir sin que ese conocimiento le ayude nada más que indirectamente en la resolución de ciertas ecuaciones.

Hay ciertas consecuencias de este punto de vista incendiario: ya que no es el volumen del recipiente lo que importa –pese al interés de algunos en tener alumnos selectos-, no debemos esperar a que este se llene de vacuidades: la labor del profesor, de la educación, es incendiarlo, es actuar activamente para que se desencadene el interés, la motivación, la curiosidad, y la adicción a la sabiduría. 

"Si me hablas, escucharé. Si me muestras, miraré. Si me dejas experimentarlo, aprenderé"   Lao Tsé 

En este ejemplo, además de mostrarse la eficacia de experimentar como medio de introducción de conceptos y de concretizar la abstracción, hay algo que resaltar: se puede jugar con matemáticas superiores a las del currículo siempre que sean transparentes al usuario, se está trabajando con un modelo matemático superior –internamente- pero de él se muestra la parte asequible al alumno. Dicho en otras palabras, hay problemas matemáticos ocultos –algunos de muy alta dificultad- en la presentación asequible de las matemáticas escolares.  Y un tema muy querido por André Antibi, las propias matemáticas escolares, a veces áridas, son un campo adecuado de interés siempre que la presentación sea la conveniente. Acertar con en el entorno, comprender las dificultades del alumno medio, generar una “ingeniería didáctica” de una trasposición didáctica tampoco es un problema trivial. Queda mucho por hacer y por investigar. Lo que se presenta es a modo de ejemplo de lo que es posible hacer hoy en día, pero no cabe duda que, con los impulsos adecuados, sería posible mejorar los entornos de aprendizaje matemático utilizando las TICs. ¿Es necesario investigar la curación del cáncer? Todos diremos que sí, evidentemente. ¿Pero lo es más o menos que investigar entornos de aprendizaje que alienten a los alumnos y consigan un rendimiento óptimo de resultados? Parece que la educación está abocada a ser la “cenicienta” en la consideración social, en la que una cierta concepción “racista”, genética, de desigualdad social justifica que no sea necesaria la investigación en éste campo. Lo que veríamos intolerable en temas como la salud (muchos de los cuales si son efectivamente genéticos), lo vemos razonable en temas como la educación: hacer lo mismo que los profesionales de hace un siglo o dos y no dar un tratamiento personalizado –acorde a sus características-, a cada paciente o alumno.

Hay un aspecto importante de las TIC que también es necesario destacar: no sólo permiten visualizar la virtualidad, concretizar, sino abstraer aún más las matemáticas, poner los desafíos matemáticos, aún para el alumno, a un nivel muy superior. Hablemos del cálculo simbólico, de preguntarse que pasa si... y de prescindir de pasos intermedios, incluso de conocimientos intermedios.

En un artículo de GAMMA 5 presento el siguiente problema: Dado un triángulo, idear una regla que transforme los vértices en otros puntos. Calcular la razón de las áreas del triángulo transformado y el original. Un programa apropiado sería Derive y el problema es del tipo de los presentados por Miguel de Guzmán (2002), por lo que es conveniente el uso de las herramientas que creó y que presenta en su CD.

Una vez entendido el problema, y vistos los ejemplos del artículo, casi cualquier alumno de Bachillerato puede reproducirlo, más que usando cálculo (que ya lo proporciona Derive), imaginación (que no la tiene Derive), e ir más allá: inventar sus propios teoremas sobre razones de áreas de triángulos. Algo que tampoco consideramos objetivo de educación: conseguir resultados usando las herramientas apropiadas (a cualquier empresario este punto de vista le provocaría risa). Es decir, preferimos suspender a un alumno porque no sabe determinar el ortocentro de un triángulo a que sepa inventar nuevos teoremas simples de geometría del triángulo saltándose los detalles del cálculo en los que posiblemente fallaría. Ese es nuestro dilema con la tecnología. Considerar fértiles, inteligentes, a nuestros alumnos o incapaces de resistir la trivialidad y el mecanicismo, por lo tanto, retrasados.

Considerando, ya de antemano, que este punto de vista no tiene el aplauso general hoy en día, hay otro aspecto en el que el cálculo simbólico mejora la enseñanza: como tutorial. Se trata de que el alumno pueda ver paso a paso los procesos necesarios de resolución. Esto está implementado en el siguiente módulo de 4º de ESO.

Y aún otro más: implementar visiones de los números como las que propone Tomás Recio en “Cálculo simbólico y geométrico”, primando las relaciones entre ellos sobre su carácter individual (así, por ejemplo, las relaciones entre las raíces de los polinomios).

Un aspecto interesante de discutir, pero, en cualquier caso, pone de manifiesto que las herramientas de cálculo simbólico ponen sobre la mesa el modo en como podemos presentar hasta los mismos números. Es posible pensar las matemáticas desde puntos de vista nuevos, interrogativos, especulativos, experimentadores, atrayentes.

Como diría, también, Hilbert “Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros”, substitúyase Cantor por Tecnología....

Bibliografía

Antibi, André. La motivación en Matemáticas:¿La del profesor?¿La del alumno? Actas 9^as J.A.E.M. Lugo, 1999.

Guillén, Michael. Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo. Editorial Debate. Madrid. 2000.

Miguel de Guzmán. La experiencia de descubrir en Geometría. Editorial Nivola . Madrid. 2002.

Hoyles, Celia. Lessons we have learnt: effective technologies for effective mathematics. En Internet.

Tomás Recio. Cálculo simbólico y Geométrico. Síntesis. 1998