Jugar con las Matemáticas

 

Manuel Díaz Regueiro.

Resumen

Con el objetivo de crear un entorno de aprendizaje en el que se favorezcan los procesos de construcción matemática, se elaboró un programa, Matemáticas 3º de ESO CDROM, en el que se prima especialmente la dimensión lúdica.

Contiene gran número de juegos de base matemática, antiguos como el wari o modernos como el Hex; otros, como el laberinto o el puzzle de triángulos, son adaptaciones de juegos de mesa, pero en el programa se convierten en juegos múltiples por la posibilidad de cambio. La mayoría de los apartados no considerados estrictamente como juegos poseen una dimensión lúdica. Así, con mosaicos hexagonales o nudos celtas se juega a componer mosaicos sencillos, caleidoscopio permite buscar un polígono que con un par de espejos nos dé la figura más bonita, etc.

Otras actividades propuestas integran una componente de desafío que hace que el alumno pueda disfrutar jugando de y con las matemáticas sin que, por ello, se excluyan ejercicios de polinomios, ecuaciones de segundo grado, sucesiones,..., siguiendo el currículo del curso.

Todo esto en un programa en el que los objetos de estudio se convierten en objetos de experimentación y diversión, presentándolos en contextos diferentes, unas veces inesperados, otras intrigantes y otras adictivos.

 

La enseñanza de las matemáticas se planifica habitualmente sin tener en cuenta la componente de gratificación en el aprendizaje.  Cuando los alumnos nos preguntan cuándo y cómo se utilizan algunos contenidos, solemos dar respuestas vagas... En física... ya lo veréis... más adelante..., algo que contradice el sentido del tiempo de los adolescentes, que viven el aquí y el ahora.

En nuestra intervención en el aula no debemos olvidar que los estudiantes necesitan motivación, tiempo de consolidación de los conocimientos y experimentación en contextos diferentes.

La humanidad construye las matemáticas mediante un proceso de búsqueda y de experimentación, de ensayo y error. Se elaboran de modo inductivo, probando, experimentando el “qué pasa si” y sólo cuando la experiencia acumulada es importante se aplica la deducción. Nosotros tratamos de acelerar ese proceso histórico por medio de reglas y deducciones que se convierten muchas veces para los alumnos en una colección desordenada de técnicas, trucos y algoritmos “ad hoc”. 

El programa que se ofrece, Matemáticas 3º de ESO, destinado fundamentalmente al profesorado y alumnado de tercer curso de la educación secundaria obligatoria (14-15 años), utiliza las posibilidades que brindan las tecnologías de la información y comunicación para facilitar el proceso de aprendizaje de las matemáticas y la intervención en el aula. Es un programa que permite la experimentación de las matemáticas -el estudiante puede practicarlas el tiempo que necesite, porque siempre puede encontrar numerosos ejercicios que le permiten ahondar sobre varios aspectos de un mismo tema. Aporta un contexto informático que propicia la motivación del estudiante al presentarlo como un juego, a veces simulado y estrictamente curricular, a veces curricular de forma indirecta y a veces directamente lúdico.

 

Al igual que en la propuesta que se realiza para el primer y segundo curso de esta etapa, se pretende hacer tangibles los objetos abstractos, convertirlos en objetos de experiencia. Para ello se utiliza el recurso de las representaciones y animaciones, como por ejemplo, en el apartado Visualizaciones de álgebra.

Pero es en Geometría donde más aplastante es su eficacia.  La imagen permite que el alumno visualice los conceptos abstractos y que los manipule mediante cambios en las variables implícitas subyacentes. Abundan las figuras con puntos clave que pueden ser arrastrados y figuras manipulables, y ello hace posible la exploración en dominios antes inaccesibles al estudiante. Es él el que puede llegar a conclusiones experimentando con objetos matemáticos y observando cómo responden sus múltiples opciones: visualizaciones del teorema de Pitágoras en formato tangram, de las propiedades de puntos y rectas notables de un triángulo, de  proporcionalidad y semejanza. Se trabaja con mosaicos regulares y semirregulares y es factible teselar el plano con piezas de diseño, crear frisos o recrearse en nudos celtas. También se hace posible la manipulación de objetos en el plano con movimientos de traslación, simetría, giros, etc. e, incluso, variar la orientación y posición de cuerpos geométricos tridimensionales sencillos.

Una buena guía a este módulo del programa es el libro de Bob Ives Pavimentar com ladrilhos, publicado por la APM, (Using Tiling generators in School, es el título original del libro publicado por la ATM inglesa)

“Los juegos están entre las creaciones más interesantes de la mente humana y el análisis de su estructura está llena de aventuras y sorpresas.” James R. Newman. El mundo de las matemáticas

En el apartado de funciones se implementan informáticamente ejemplos de lecturas de gráficas e interpretación de funciones, dando un especial relieve a las funciones lineal, afín y cuadrática de la que se presentan ejercicios visuales.

Simulaciones como la palanca permiten descubrir como funciona, no solo cuantitativamente, que también, sino incluso cualitativamente.  El alumno puede predecir en qué marca ha de colocar el fulcro para que la palanca se equilibre probablemente sin cálculos, sino a través de la intuición.  Así está aprendiendo no  solo a decir la ley, sino experimentando, “sintiendo” su efecto: Los pesos mayores han  de estar más distantes del fulcro que los menores,...

Comparar las gráficas y sus fórmulas se convierte en un método de experimentación que va más allá del hecho de dar la solución exacta a un problema.  El alumno debe desarrollar estrategias de reconocimiento de gráficas y asociarlas a las fórmulas. Implícitamente ha de hacer consideraciones y cálculos de  pendientes, de su signo, de la importancia del coeficiente de x2 en una ecuación de segundo grado, etc.   Tras una serie de ejercicios, y en un tiempo mucho más breve que si los hace con lápiz y papel, consigue determinar las reglas que le harán llegar a la conclusión. El programa se presenta como un juego de experimentación en el que hay que pensar, redescubrir las reglas del juego y ese proceso puede ser potenciado mediante el apoyo y orientación del profesor, con la posibilidad de individualizar para cada alumno el tipo de ejercicios que más le conviene. 

En otras partes del programa aparecen algoritmos informáticos clásicos, como la pila y árbol de una operación, pero en un contexto visual nuevo o cuando menos poco conocido. Jugar con esta parte del programa implica aceptar que las operaciones no tienen la misma prioridad; que una lectura lineal, unidimensional, no es la adecuada y sí en cambio una lectura en árbol en la que se deben realizar las operaciones comenzando por las “hojas”.  Estoy seguro de que jugar con esta opción agilizará la interiorización de la prioridad de las operaciones como se pretende. 

Esto mismo es válido para el árbol de las ecuaciones de primer grado – en este caso ni siquiera la implementación informática es clásica o conocida- donde se profundiza en la necesidad de calcular un número que permita pasar de una ecuación con denominadores a otra sin ellos.  Hasta tal punto esta visualización es importante que en la resolución de ecuaciones de primer grado es posible ver los pasos necesarios para llegar a la solución utilizando, en el fondo, el algoritmo del árbol de las ecuaciones de primer grado.

-Esta es otra de las aportaciones interesantes del programa pues hay varios programas que resuelven ecuaciones de primer grado pero ninguno – que yo conozca- que lo explique paso a paso. 

En resumen, se aporta un apoyo visual y experimental, casi físico, a los contenidos matemáticos de esta etapa escolar. Si en la etapa de primaria es fácil encontrar una apoyatura física en objetos reales, en cuanto avanzamos en la edad escolar,  es mucho más complicado; pero el ordenador nos permite sustituirlos por objetos virtuales que cumplen una función semejante. Estos “manipulables virtuales” interactivos crean un ambiente matemático rico en el que encuentran, representan, experimentan y razonan sobre ideas matemáticas.  Observando cómo los objetos se manipulan, arrastran y distorsionan en la pantalla comienzan a aprender cómo realizar en sus mentes los mismos experimentos.

Se incluyen una serie de juegos con un gran potencial educativo. Una versión del familiar juego de los barcos, batalla naval, promueve la utilización de las coordenadas para la localización, puzzle de triángulos acerca al alumno a los mosaicos y la combinatoria. En Poliminós se exploran sus posibilidades geométricas. En Paridad se juega con monedas y vasos estudiando las operaciones y conservación de la paridad. Es decir, el programa es, además de un medio de hacer explícitas las soluciones de un problema, un escenario de presentación de nuevos interrogantes y problemas, algunos de ellos nunca planteados previamente.

 

Además de realizar aportaciones, el programa se apoya en la literatura existente sobre didáctica de las matemáticas.  Así, el laberinto recoge la idea del libro de César de Sá  A aprendizagem da Matemática e o Jogo”, editado por la APM; funciones le debe mucho al libro “El lenguaje de funciones y gráficas” del Shell Center, y en otros apartados se utilizan ideas de varias aplicaciones informáticas que se enriquecen para abrir nuevas perspectivas y enfoques. 

Detengámonos por un momento en el laberinto y observemos alguna de las diferencias con su presentación sobre un tablero.

-Deja de ser estático. Se pueden variar las cantidades y su colocación, o se presenta la opción de un laberinto de fracciones en donde la demanda cognitiva se aumenta al ser necesario reconocer, al menos de una forma aproximada, el valor decimal de cada fracción.

-El hecho de que el ordenador puntúa –y esa fue la parte más difícil de crear- dándonos el % de caminos que tienen menor o igual puntuación que la conseguida. Así, el alumno tiene un feedback inmediato sobre el nivel alcanzado y una puntuación media de los niveles pasados.

-La rapidez con la que se llega a conclusiones. Es un juego en el que por simple observación se van interiorizando en el alumno propiedades y resultados que de otra manera quedan aislados y sin contexto; por ejemplo, el efecto de multiplicar o dividir por un número menor que la unidad. 

En otros muchos apartados también se promueve el afianzamiento de las destrezas del cálculo numérico con nuevos modelos de ejercicios, tanto en su presentación como en la comunicación de la solución, de manera que se mantenga el interés y la motivación. También se da continuidad a las tareas de familiarización con la codificación –como códigos de encriptación tipo Cesar, Vigniere- y, reitero, se brinda un número ilimitado de ejercicios, que buscan el refuerzo y consolidación de los aprendizajes en la mayoría de los apartados que plantea el diseño curricular de matemáticas del tercer curso de enseñanza secundaria obligatoria.

Las actividades mantienen la posibilidad de elegir el nivel de dificultad y de solicitar ayuda para mostrar el proceso de resolución. También cabe resaltar que se implementa una cierta vigilancia de las actividades desarrolladas por el alumno en su periplo a través del programa, de tal manera que el profesorado o los padres pueden saber de qué tipo y cuántos ejercicios ha realizado el alumno.

Es el momento de recordar una cita de Euler en “Matemáticas y razonamiento plausible” de Polya, en la que nos recuerda que no es posible conseguir resultados interesantes con los números si no es a través de una extensa experimentación con ellos. Uno aprende un lenguaje hablando y comunicándose con él. Equivocándose y corrigiéndose.  Uno de los mitos habituales en matemáticas es que existen alumnos bien dotados para ellas y que no necesitan tiempo para aprender. Creo que esa cita de Euler debería hacernos reflexionar.  Euler conseguía resultados maravillosos en matemáticas por sus extensas e intensas exploraciones, experimentaciones y familiarizaciones con las propiedades de los números y funciones.

Así nuestros alumnos, que no son Euler, también necesitan familiarizarse y experimentar. Pero en un contexto lúdico, motivador y gratificante que mantenga su interés.

 Estamos delante de una meta “el aprendizaje de las matemáticas” que requiere tiempo.  El alumno debe movilizar su cerebro con problemas estimulantes, dedicarle un tiempo a razonar y comprender, a sacar conclusiones que le hagan sentir que toca tierra firme, que lo que se le propone es capaz de conseguirlo dedicándole el tiempo necesario.

Esto no es fácil alcanzarlo en una clase numerosa porque no es posible conocer y aplicar las ideas de cada alumno y, menos aún, darles una respuesta inmediata o una batería extensa de ejercicios que les corroboren la exactitud o inexactitud de sus intuiciones.

Esta  experimentación con las preguntas y respuestas puede parecer que tiene algo de rutinaria o conductista. Sin embargo, con la visión de Euler, se están experimentando las propiedades de los números en una proporción mucho mayor que la que se produce en una clase común.  El alumno tiene cientos de ejercicios en este programa en los que puede experimentar todas las posibles variantes, dudas y contrastar errores, hasta llegar, a un estado de firme conocimiento de cuales son las condiciones para dar una respuesta correcta.  No es preciso resaltar lo que es obvio, el papel relevante del profesorado para orientar y enriquecer este proceso.

A veces se le pide a un programa educativo en matemáticas que sea un “procesador de ideas matemáticas”. Pero una preparación aplicable al aula de tales procesadores se convierte en un programa semejante al descrito. Con la ventaja de que este programa ya tiene insertado todo un caudal de experiencias en educación matemática.  El profesor no tiene que elaborar el programa sino seleccionar, preparar ciertas partes, orientar en su utilización. Como sabemos, el valor de la herramienta depende del uso que se le dé.

En resumen, entre las características y posibilidades del software que se presenta podríamos enumerar las siguientes:

-Desarrolla el currículo y lo complementa con opciones que deberían estar presentes en él (Algoritmos, grafos, ....)

-Presenta objetos virtuales que propician la creación de abstracciones en los alumnos.

-Facilita la experimentación a través de la manipulación de objetos matemáticos, hacer matemáticas experimentales. Como dice el informe francés Kahane: "L'enseignant peut montrer, faire découvrir, et bien sûr susciter la réflexion sur les objets mathématiques grâce à ces logiciels. L'enseignement des mathématiques trouve là de nouveaux moyens et méthodes, de nouvelles images."

-Integra la informática en el currículo de matemáticas. Se introducen temas como códigos, claves, algoritmos, grafos, árboles binarios, etc

-Utiliza como eje conductor la resolución de problemas, unas veces más abiertos como en mosaicos, otras más cerrados como los ejercicios de decimales periódicos, que están siempre en el centro de lo que el alumno percibe. En todo caso son un desafío, un juego,  que puede practicar sin limitación de tiempo.

Con todo, la aplicación de las actuales tecnologías al proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas presenta grandes retos acordes con la complejidad de la tarea educativa. Compartir nuestra experiencia nos permitirá avanzar en un proceso de mejora continua.

“Los juegos son una fuente inestimable de situaciones abstractas en las que el estudio y la comprensión enriquecen a los que los utilizan... mientras se divierten. Son la mejor manera de hacer apreciar y practicar las matemáticas.”  Jean Paul Delhaye.