El  problema de las tres jarras: pasos hacia la visualización.

Manuel Díaz Regueiro

Según Kasner  [ p. 134], que cita a Arago, Simeon Denis Poisson, encendió su interés por las matemáticas resolviendo este simple problema “Dos amigos tienen una jarra de ocho cuartos de agua y quieren compartirla. Para ello disponen de 2 jarras vacías, una de ellas de cinco cuartos y la otra de 3. ¿Cómo pueden medir exactamente 4 cuartos de agua?”.

Dice Kasner “La familia del famoso matemático francés Simeon Poisson (1781-1840) trató de que éste fuese de todo, desde cirujano a abogado, esto último en la teoría de que no servía para algo mejor. Inició una o dos de éstas profesiones con notable ineptitud, pero al fin encontró su oficio. Durante un viaje alguien le planteó el problema citado. Resolviéndolo al instante, Poisson descubrió su verdadera vocación y de ahí en adelante se dedicó por entero a las matemáticas”.

Se atribuye este problema y sus variantes a Tartaglia (Tweedie 1939), pero la primera versión conocida del problema está en los Annales Stadenses compilados por el abad Albert del convento Bendita Virgen María en Stade (cerca de Hamburgo), aproximadamente en 1240.

El problema puede resolverse con la ayuda de coordenadas trilineales o baricéntricas (Tweedie, 1939). Un estado posible cualquiera se describe con las coordenadas (x, y, z) y tenemos que x+y+z=Cantidad total (en este problema 8). Esta es la característica fundamental de las coordenadas triangulares- para los puntos en el interior del triángulo la suma de sus coordenadas triangulares es constante. Si llamamos a, b, c a la cantidad de agua (ordenada de menor a mayor) que cabe como máximo en cada una de las jarras, los problemas más interesantes son aquellos en que a+b=c=cantidad total (en ellos, para cualquier estado posible x+y+z=c). Probaremos que (Bogomolny)

Sea c = a + b, siendo  a y b números primos entre si. Entonces cualquier cantidad 0 x c puede medirse con las tras jarras, que llamaremos A, B y C.

Partiendo de (0, 0, c), y volcando el agua de C a A y de A a B obtendremos (0,a, c - a). Este es el paso básico que debe repetirse hasta obtener  B lleno, con valor b: llegamos a (r, b, c - aq), siendo  r, q > 0. Continuamos volcando B a C y de A a B: (0, r, c - aq + b) que da (0, r, 2c - a(q+1)). Este es el segundo paso. Seguimos con el paso primario hasta que B se llene, después con el secundario y así repetidamente. Módulo c, la tercera jarra contendrá las cantidades 0, -a, -2a, -3a, ... Ya que partimos de que a y b son primos entre sí, lo serán a y c. Por lo tanto todas las cantidades 0, -a, -2a, -3a, ..., -a(c-1) son diferentes módulo c. En otras palabras, el conjunto {0, -a (mod c), -2a (mod c), -3a (mod c), ..., -a(c-1) (mod c)} es justamente una permutación del conjunto {0, 1, 2, ..., c-1}. Para alumnos destacados, ésta sería una buena continuación después de la utilización del programa.

La descripción del problema de las tres jarras como un triplete (a, b, c) encaja con las coordenadas triangulares. Dibuja un triángulo equilátero ABC teniendo los vértices coordenadas trilineares (c, 0, 0), (0, c, 0), y (0, 0, c) . Los lados AB, BC, y CA tienen de ecuaciones z = 0, x = 0, y y = 0, respectivamente. Las otras líneas  del triángulo responden a paralelas a esos lados. Por ejemplo,  x = const son paralelas al lado BC.

En la película de 1995  Die Hard: With a Vengeance (aka Die Hard III), (Jungla de Cristal 3. La venganza) Bruce Willis y Samuel L. Jackson interpretan un juego mortal de bomberos, una carrera alrededor de Nueva York tratando de prevenir explosiones. Para parar una explosión, necesitan resolver el siguiente problema:

Provistos de un suministro ilimitado de agua, y dos jarras de cinco y tres galones, medir exactamente 4 galones, llenado y vaciando las jarras. (Ver foto).

 Bruce Willis y Samuel L. Jackson resolviendo un puzzle matemático.

Resolvamos ahora el siguiente problema visual dado un rectángulo de lados a y b, (subdividido en cuadrados), y, partiendo de un vértice qué puntos podemos alcanzar reflejando cada punto al que lleguemos en el lado opuesto, partiendo de un vértice: por ejemplo, con la condición de que (es la del problema) haremos el mínimo posible de reflexiones exactas (cada mcd de ambos números), dándonos la notable consecuencia de que el número de cuadrados tocados por la línea zig-zag es el mcm de ambos números (no visto en ninguna bibliografía, aunque si el de la línea pasando por las diagonales, -Pasatempos, GAMMA 5-). Así podemos explicar la condición necesaria de que las medidas de A y B deben ser primos entre si, si queremos que alcancen cualquier valor.

En cuanto al problema original puede experimentarse del modo siguiente (Matemáticas cuarto de la ESO). Podemos variar la cabida máxima de la jarra más grande (8, 10 ... hasta 20)

En el caso de 8 podemos ver la solución animada (juego de los vasos solución). Pero si la vemos pulsando antes el botón de ayuda nos presenta las posiciones alcanzables en la representación triangular del problema, viendo además el zig-zag de reflexiones que hace la solución en el triángulo. Vemos que a) la solución no entra en un bucle, nunca repite pasos, b) tenemos que entrar en el siguiente proceso, De C a B, repetir (de B a A, de A a C) hasta conseguir el menor valor posible de B. Entonces B a A, y volvemos a empezar C a B ¿Cuándo paramos? Cuando consigamos que B y C tengan el mismo contenido. En ese momento habremos resuelto el problema.

Esta solución es general. Es una buena idea siempre que se empiece un problema pulsar ayuda para ver lo que está pasando. Un problema es factible si  C=A+B y además A y B son primos entre sí (ver Coxeter para un estudio más detallado). Puede verse que cada problema tiene dos soluciones, según empecemos de C a B o de C a A

En este problema (c=14, b=9, a=5, los pasos hacia la solución se visualizan perfectamente en un diagrama triangular. Tras varias experiencias con el programa el alumno entiende sin dudar cuales son los pasos que debe hacer para resolver cualquier tipo de problema semejante). Ver que las matemáticas (las modelizaciones matemáticas de un problema real o puzzle) sirven para entender –y no para ofuscar- es una de las consecuencias de éste pequeño problema y, por lo tanto, el objetivo de este programa. Encender la mente de los alumnos, también.

H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, Geometry Revisited, MAA 1967

Inés Ben. Pasatempos. GAMMA 5.

Alex Bogomolny www.cut-the-knot.org

E. Kasner y J. Newman, Mathematics and the Imagination, Simon and Schuster, 1958. En español. Matemáticas e imaginación. CECSA. México. 1972.

Tweedie, M.C.K., A Graphical method of Solving Tartaglian Measuring Puzzles, Mathematical Gazette, 23, (1939) 278-282.

Shai Simonson  Public Key Cryptography . En Internet